Теорема. Если кольцо имеет более 3-х единиц, то разложение в нём на множители единственно.

(Я не стану приводить само доказательство – оно достаточно очевидно, но в общих чертах обрисую.)

 Я опираюсь на метод, приведённый при доказательстве единственности разложения в поле гауссовых чисел, которое давалось в журнале «Квант».

Для доказательства потребуется понятие нормы числа. Норму можно задать различными способами, поэтому я потребую следующие свойства от нормы:

   -норма единичного элемента из поля(кольца) равна единице.

   -два ассоциативных числа в поле(кольце) имеют одинаковую норму.

   -норма числа ≥0.

   -Если a,b – числа из кольца, │a│,│b│ -  их нормы, то │a*b│=│a│*│b│.

Думаю, что этих требований достаточно. Однако для определённости я рассматриваю  числа вида (a+b*i), где a,b – вещественные числа, ограниченные снизу по абсолютной величине (или равны нулю) и определяю норму следующим образом: │a+b*i│=a²+b².

Далее требуется доказать теорему:

Теорема. Если e_i – единица из кольца, то все единицы можно перенумеровать таким образом, что │ e_{i +1} - e_i │=const – постоянная величина. Т.е. они располагаются в вершинах правильного n-угольника.

Теперь надо применить тот же метод, который применялся в журнале «Квант» и теорема будет доказана. (Т.е. надо показать, что можно получить число по норме меньше предыдущего и удовлетворяющее определённым условиям).

Замечание. Поле чисел вида (a+b*√(-3)), где a,b – целые числа, имеет всего две единицы ±1, т.к. если b≠0, a≠±1,  то норма числа будет больше единицы. Можно показать, что метод, предложенный в журнале «Квант» в этом случае не работает.