(kashey)

Теорема о единственности разложения на множители.

(обычные числа).

  Дано:

a1*b1=a2*b2=z, где a1,a2,b1,b2 – простые числа, которые не имеют общих делителей (т.е. они различны с точностью до знака).

  Докажем противоречивость данного утверждения.

Для определённости a1≤b1.

a1*b1=(k1*a1+a2-k1*a1)*(a1*k2+b2-a1*k2) , где k1,k2 целая часть частного от деление на a1 чисел a2 и b2 соответственно.

=>b1=(a2-a1*k1)*(b2-a1*k2)/a1+c, где с – новое целое число.

=>(a2-a1*k1)*(b2-a1*k2)=c1*a1, где с1 – новое целое число.

Обозначим (a2-a1*k1)  через d_1,1, а  (b2-a1*k2) через d_1,2.

Получим:

d_1,1*d_1,2= a1*c₁.

Далее повторим процедуру. Получим ряд уравнений:

….

d_n-1,1*d_n-1,2= d_n-2,1 *c_n-1,

d_n,1*d_n,2= d_n-1,1*c_n.

Смысл данной процедуры в следующем. Мы ищем общий делитель предполагая, что он содержится в  d_i,1 . Множители в левой половине равенств будут всё время уменьшаться, пока не превратятся в 1 или 0. (Заметим, что если наше предположение не верно относительно d_i,1 , то в качестве общего множителя мы должны получить единицу.)

Если мы получили на каком-то шаге d_n,1=0, то это возможно, только, если  d_n-2,1  делиться на d_n-1,1 , т.е. d_n-1,1  - общий делитель, не равный нулю.

Если мы получили на каком-то шаге d_n,1≠1 и d_n,2=1 , то  d_n,1=c_n*d_{n-1,1    ,} это возможно, только, если d_n,1  делиться на d_n-1,1 .

d_n,1 = d_n-2,1 -k _n-1,2*d_n-1,1  

т.е. d_n-1,1  - общий делитель, не равный нулю, т.е. он делит a2 и a1.

Если мы получили на каком-то шаге d_n,1=1 и d_n,2≠1 , то  d_n,2=c_n*d_{n-1,1    ,} это возможно, только, если d_n,2  делиться на d_n-1,1 .

d_n,2 = с_n-1,1 -k _n-1,2*d_{n-1,1 =>} с_n-1,1  делится на d_n-1,1 , но тогда d_n,2= 0, а также

d_n-1,2= d_n-2,1 *m, т.е. (по аналогии!)

d_n-1,2  делится на  d_{n-2,1 =>} с_n-2,1  делится на d_n-2,1 , но тогда d_n-1,2= 0 и т.д.

Получаем b2-a1*k2=a1*lm. Следовательно b2 делится на a1, а это противоречит условию.

Если мы получили на каком-то шаге d_n,1=1 и d_n,2=1, то 1=c_n*d_n-1,1    , это возможно, только, если c_n и d_n-1,1  являются делителями единицы . Для нашего случая получаем с точностью до знака c_n=d_n-1,1 =1 , т.е. получили противоречие, т.к. мы предполагали, что d_n-1,1 ≠1 (с.м. предыдущие ситуации ) => приходим к уравнению a1*b1=a2*b2, где a1=b1=1, либо к одному из рассмотренных выше случаев.

Таким образом получили противоречие. Следовательно либо a1 делит a2, либо a1 делит b2, т.е. с точностью до знака либо a1=a2, либо a1=b2.