Пусть среди корней есть мнимые.
I. a1+a2*x+a3*x²=0
Положим x=b1+i*b2, тогда
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)=0
a2*b2+2*a3*b1*b2=0
или
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)=0
a2+2*a3*b1=0
Находим b1, затем b2.
II. a1+a2*x+a3*x²+a4*x³=0
Положим x=b1+i*b2, тогда
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)+a4*(b1³-b1*b2²)=0
a2*b2+2*a3*b1*b2+a4*(b1²*b2-b2³)=0
или
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)+a4*b1*(b1²-b2²)=0
a2+2*a3*b1+a4*(b1²-b2²)=0
Выражаем (b1²-b2²) через b1 :
(b1²-b2²)=-(a2+2*a3*b1)/a4=c1+c2*b1
=>a1+a2*b1+a3*(c1+c2*b1)+a4*b1*( c1+c2*b1)=
=d1+d2*b1+d3*b1²=0 , где с1, с2, d1, d2, d3 – новые подсчитанные коэффициенты.
Далее находим последовательно b1 и b2.
III. a1+a2*x+a3*x²+a4*x³+a5*x4=0
Положим x=b1+i*b2, тогда
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)+a4*(b1³-b1*b2²)+a5*(b14-6*b1²*b2²+b24)=0
a2*b2+2*a3*b1*b2+a4*(b1²*b2-b2³)+a5*(4*b1³*b2-4*b1*b2³)=0
или
a1+a2*b1+a3*(b1²-b2²)+a4*b1*(b1²-b2²)+a5*((b12-b22)²+4*b1²(b1²-b2²)-4*b14)=0
a2+2*a3*b1+a4*(b1²-b2²)+a5*b1*4*(b1²-b2²)=0 (☼)
Если b2≠0 , то применяя тот же подход ,что и в задаче III , получаем
a1+a2*b1+a3*(-a2-2*a3*b1)/(a4+a5*4*b1)+a4*b1*(-a2-2*a3*b1)/(a4+a5*4*b1)+a5*
*(((-a2-2*a3*b1)/(a4+a5*4*b1))²+4*b1²*(-a2-2*a3*b1)/(a4+a5*4*b1))-4*a5* b14=0
Избавляемся от радикалов путём умножения уравнения на (a4+a5*4*b1)² .
Если -4-4*2*a3*a5*4=0 => 1+8*а3*а5=0, то получим уравнение 3-ей степени относительно b1, т.е. на степень ниже.
Условие 1+8*а3*а5=0 можно обеспечить путём преобразования исходного уравнения через замену x=k*x1+∆.
(Вроде бы ошибки нет).
V . a1+a2*x+a3*x²+a4*x³+a5*x4+a6*x5=0
Путём замены переменной x=k*x1+∆, можно добиться того, чтобы один из коэффициентов оказался равным нулю, от двух других можно потребовать соблюдения определённого соотношения, например равенства единицы.
Приведу мои выводы.
Уравнение пятой степени разрешимо, если :
1) a5=0 , a3=0 , a4²=20*a2*a6 ;
2) a4=0 , 21*a5³=5*a3*a6² , -441*a54=2000*a2*a6³;
3) a3=0 , 21*a5²=-25*a4*a6 , 19*a4² ;
4) a5=k1*a3=k2*a1 , a6=k1*a4=k2*a2;
5) a5=0 , a1²*a6-a1*a3*a4+a2*a3²=0 ;
6) a2=0 , a1*a6²-a3*a4*a6+a4²*a5=0 ;
7) a4=0 a1²*a6²+a2²*a5²-2*a1*a2*a5*a6+a2*a3²*a6=0 ;
8) a3=0 , a1²*a6²+a2²*a5²-2*a1*a2*a5*a6+a4²*a1*a5=0 ;
9) a2=0 , -441*a54+100*a4²*a6²-840*a4*a5²*a6=0 , 21*a5³+25*a4*a5*a6-5*a3*a6²=0 .
